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许明宇：从布朗运动谈起

 

讲者信息：

许明宇：中国科学院数学与系统科学研究院研究员，主要方向是倒向随机微分方程的理论研究和数值模拟。

讲座内容：

该幕课系列首先普及了概率论的相关背景和知识应用，为布朗运动的认识奠定好基础。布朗运动指的是一种无相关性的随机行走，满足统计自相似性，即具有随机分性的特征。至今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随机波动是股票市场的特性。将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模型，这在现代金融数学中占用重要的地位。

1.概率的历史

16世纪骰子游戏的研究可以算作概率的开始，17世纪赌博游戏赌资的分配问题，引起了数学家们的关注。Jacob Bernouli给出了很多概率的计算方法，给概率论提供了一定的数学基础。高斯在研究谷神星轨道时，通过概率方法来纠正观测误差。Laplace在自己发表的“概率分析理论”书中确立了许多概率中的基本结果。Kolmogorov为概率论建立严格的数学理论基础。

2.离散事件概率及Levy回忆录

这节主要介绍了离散随机事件，由掷硬币事件引入，了解概率空间，离散概率变量等基本定义及计算相关概率的公式。摘选了Paul Levy写的回忆录部分内容，介绍概率的哲学思想，概率论的数学与几何学相对比，几何是实际存在的，概率是的研究对象是随机博弈的，是人类思想想象的。

3.Bertrand 悖论及连续随机变量的概率

对于一个简单的概率问题，在圆中随机选择一条弦，那么其比圆中一个等边三角形边长的概率是多少？Bertrand借助随机端点法，随机半径法，随机中点法得到了三种不同的结果，这三种算法的概率空间以及所取的直径是有差异的，因此对于连续随机变量的概率需有要一个严格的定义以及相关的计算方式。

4.贝努利系列的二叉数模型

考虑n次掷硬币的概率，每次的结果是独立的，当n趋向于无穷大时，二叉树分布趋于正态分布。大数定律是贝努利很重要的研究成果，是理论与实证的结合。

5.布朗运动及Mavkov过程

布朗运动是由Robert Brown命名的，他在1827年通过显微镜在水中观察到小粒子的无规则运动，清楚地说明了其在无机物和有机物中都存在。Louis Bachelier在1900年将其博士论文描述了法国股票市场交易的产品以及布朗运动的数学研究。爱因斯坦从物理学的角度建立了布朗运动的物理模型，发表了热分子动力学观点的文章。Nobert Wiener从严格的数学角度给出了布朗运动的随机模型。Andrey Markov认为在Markov随机过程满足“无记忆性”，将来与过去是独立的，随机游走都是Markov过程的特例。

6.布朗运动定义及演示

这节首先介绍了布朗运动的严格数学定义和定理，在给定的概率空间，其需满足“由零点出发，连续性，随机性”这三个基本性质。然后借助布努利数据来演示布朗运动的随机性，分别展示了一维、二维、三维的图象，并展示了反射布朗运动，球面布朗运动等特殊性现象。

7.Black-Scholes公式

Black-Scholes模型最初是在1973年发表，它是一个有很多衍生品的金融市场的数学模型，Scholes，Merton,，Black并由此推导出的Black-Scholes公式，给出了欧式期权的定价公式。在Black-Scholes模型中，投资者可以把投资分为有保证固定收益的和风险投资。

8.何为期权？

一个期权是一个合同，它给其持有者权利以合同中签订的价格来买或者卖固定数目的给定资产。这节还介绍了期权持有者在时刻T关于看涨期权与看跌期权的收益与图像，期权的数学理论主要研究如何定价及对冲。

9.套利机会的应用

如果没有套利机会的话，带有同样执行时间的T和交割价格的K看涨期权和看跌期权，在时刻t的看涨期权价格和看跌期价格存在一个平权公式。假设没有满足该公式，可由此推导出套利机会，介绍了相关的操作组合以实现一个严格正的收益。

10.市场的完备性及离散模型的定价

无套利市场是完备的，当且仅当所有存在一个等价鞅测度。这节介绍了简单的定价模型，通过二叉树的方法对仅有一个风险资产的离散模型进了研究，并分析了看涨期权和看跌期权的价格公式。

11.连续时间模型的期权定价

在连续时间框架下，引入布朗运动，了解市场中的风险资产和无风险资产的价格过程，建立连续时间模型的期权定价公式，分析看涨期权和看跌期权的价格公式。