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张寿武：L-functions

 

讲者信息：

张寿武教授：普林斯顿大学终身教授，国家教育部第二批“长江学者奖励计划讨论教授”，美国科学与艺术学院院士，1996年证明了世界性难题波哥莫夫猜想，1998年应邀在柏林世界数学家大会做45分钟报告，同年获首届晨兴数学金奖。

讲座内容：

张教授先从一道简单中学等差数列求和题目入手，追溯了这道题目的历史，并且精彩讲述了这种求和问题有关的研究故事。张寿武介绍了负数类型情况下，数学家欧拉的解决方法。欧拉用自己的微积分工具完美地解决了相关负数类型问题。此外，他还介绍了欧拉对数学的重要贡献。接着，他讲述了狄利克雷使用傅里叶分析推广了欧拉的工作，黎曼在研究高斯和勒让德提出的素数定理时，引出了和素数分布有关的复变量的黎曼zeta-函数。

1.等幂求和一般公式

中世纪后，众多数学家开始思考是否存在一般的公式来计算1^n+2^n+...+k^n。华罗庚在《数学归纳法》书中，介绍了幂求和的一般公式，这是第一次发现。Jacobi Bernoulli在《猜测的艺术》这本书里面，引进了Bernoulli数进行家幂求和。后来，发现可以借助杨辉三角变换推出幂求和的一般公式，并给出了相关证明。

2.负数幂的探究

欧拉认为对于任意一个好的函数，部分求和都可以写成一个光滑函数在这点的求值。借助泰勒展开式，把差分方程变成微分方程，使得求和公式出现Bernoulli数，欧拉的公式是针对 k为任何值，包括当k为负数时。当k大于1时，该求和公式是收敛的，那么怎么计算无穷求和 ？在1735年，欧拉解决了Basel 问题如何精确计算所有平方的倒数的和。

3.欧拉zeta-函数

在1737年，欧拉函数发现zeta函数一些惊人的性质。欧拉乘积，是欧几里得工作素数无穷性的一个重要改进，也象征解析数论的诞生。欧拉把zeta函数在正数和负数的值域都做了研究，发现了不同的性质和两者之前的联系。

4.狄利克雷的L函数

狄利克雷使用傅里叶分析推广了欧拉的工作，给出任何两个互素的正整数N，a，一定存在无穷多个素数是mod N余a。

5.黎曼zeta-函数

黎曼借用傅立叶分析将zeta函数拓展到复数值，发现了一些极妙的性质。黎曼做这个研究最主要是为了证明高斯素数定理，黎曼假设zeta函数的零点都在Re(s)=1/2 的直线上，并验证了前100个零点。

6.L函数的性质与构造

L函数应该满足下面两个性质，第一可以写成素数的乘积，第二有亚纯函数延拓于复平面上并满足于一些函数方程。那么对于怎么找到一个L函数，这里出现了两种方法来构造L函数，一个是自守表示，另一个是伽罗瓦表示。朗兰兹纲领指出这两个方法是构造同样类型的L函数。黎曼假设，朗兰兹纲领，L函数的特殊值是21世纪数论主要三个方向。