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汤涛：圆周率计算与现代计算数学

讲者信息：

汤涛：中国科学院院士、南方科技大学副校长，曾获国家自然科学二等奖

讲座内容：

1.从古代科学家谈起

古代科学家以几何方法，即内接多边形面积逼近圆面积的方式计算圆周率。祖冲之算得小数点后六七位；千年后，荷兰数学家鲁道夫以同样方式用毕生时间算得35位有效数字。后来许多关于圆周率的书成为中学生的数学启蒙材料。

2.漂亮但不实用的公式

继几何方法后，出现了计算π的解析方法。韦达最早用解析方法得到了一个关于π的恒等式，后来瑞士数学家欧拉发现了一个用素数来表达π的恒等式，但这两个恒等式都不实用。莱布尼茨公式是第一个较有效的通过加减乘除计算π的公式，类似的有欧拉公式。因这些公式计算量大，效率极低，于是出现了计算效率高的修正公式。伯努利对修正公式贡献很大，用递推方式来计算修正项，后来爱达编写程序实现了该算法。

3.适合计算机的迭代法

计算机运算速度快，适合做重复性操作。以计算√2为例介绍迭代算法基本思想，用包含x_k的公式表示x_k+1，因为此例中该算法为二次收敛，所以迭代算法表现出高效率和高精确度的性质。

4.阿基米德-刘徽迭代算法

根据阿基米德关于内接正多边形周长≤2π≤外切正多边形周长的思想，得到计算内接和外切正多边形的周长的迭代方法，此方法为线性收敛，即经一两次迭代即可提高一位有效数字，收敛速度太慢，无法达到现代的高精度要求。

5.迭代法的现代应用

二分法和牛顿法都是迭代算法的现代应用。二分法通过不断把区间一分为二的方式使区间两端点逼近所求的根，速度较慢；牛顿法用函数的切线与x轴交点的横坐标近似根，收敛速度较快。

6.效率奇高的现代算法

Brent-Salamin算法是效率奇高的现代算法，一次迭代即可得到3.14，2011年IBM超级计算机利用该算法给出了π的小数点后60万亿位。该算法的二次收敛性质可被严格证明。

7.高精度自适应算法

自适应算法精度高，以偏微分方程为例，有限元方法需计算1千亿节点才能使计算误差降到0.1以下，而自适应算法仅需两千多个节点。有限元算法被应用于汽车与飞机设计，将三维物体转化为网格点，从而进行快速的数学模拟运算。

8.中国数学领域的发展

中华民族历史上对计算有非常大的贡献，英国皇家学会院士列出了历史一段时间内的29个重大算法，其中两个与中国科学家有关，刘徽是世界上第一个提出求解线性方程组的高斯消去法的科学家，冯康先生提出了工程中应用极广泛的有限元法。中国还需要在数学领域做出更多首创性的工作，才能成为世界数学大国。