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王杰：听音识数，赏乐辨形

讲者信息：

王杰：北京大学数学科学学院教授、中国密码学会理事长，曾任北京大学副校长、国家自然科学基金委副主任。主要研究方向为本原置换群的结构理论、群论的计算方法、代数图论以及它们在密码学中的应用。

讲座内容：

通过律学、旋律与对称、勋伯格十二音技术、机器作曲、人工智能等方面的大量实例，揭示音乐与数学之间深刻的、但又往往不为人知的联系。

1.音乐与数学

这节首先介绍了百科全书下，音乐与数学的基本定义，紧接着，从众多数学家、音乐家的观点出发，引出对音乐背后的数学规律研究与认识。

2.乐音体系

乐音是有限多个音级构成的集合，通过绝对音高、相对音高来确定集合中的元素与相对应的音高。在早期，无论借助的是三分损益法，还是五度相生律，计算所得到的音级F，其上方纯五度音降低八度之后，无法回到起始音级C，是存在误差的。

3.十二平均律

在文艺复兴时期，人们探索出了纯律的模式。音乐逐渐由单声部发展到多声部，对数的研究范围也拓展到无理数。朱载堉是世界上第一个通过准确计算提出平均律的人，并创导了七声音阶，将八度分成十二个半音的方法。

4.音乐与对称

在《南泥湾》、巴赫曲子的演奏中，认识到音乐的旋律可以做移调、逆行和倒影等变换，生成一个音乐变换群。群最大的结构是一个48阶群，即在全体音级关于八度关系形成的12个音类中，总共有48个不同的变换。

5.十二音技术

大多数传统音乐是调性音乐，总有一个主音，其它音与主音之间会形成主从关系等。 调性的属性使得移调，逆行等变换往往会受到限制。因此20世纪初，勋伯格在音乐创作中逐步建立和发展了十二音技术，打破传统市场调性音乐的束缚，使得每个音符平等。

6.计算机与音乐、数学的结合

计算机的出现为音乐和数学的结合提供了新的机遇和手段，联系概率统计知识，创造生成新的乐曲，借助生命科学遗传算法，判断选择最优版本。