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王涛：数学之旅

讲座内容：

毫无疑问，数学起源于经验的现实世界。但是从一开始，数学就表现出了一种脱离经验的倾向，进而逐渐形成了独特的概念、理论、问题和方法。在这个过程中，抽象与推广是数学的两个基本工具。我们将从几个简单的数学对象出发，体会数学是如何脱离经验而逐渐与自然科学分离的。正是由于这种特点，数学具有不可思议的有效性。

1.数

数是数学中很重要的一个对象。由于生计问题，各文明都意识到并发明了数，这就是自然数。自然数出现后，人们开始对其性质进行研究，如毕达哥拉斯发现了一些具有神秘色彩的数。之后，素数也被意识到了，其初步的理论建立在欧几里得的《几何原本》中，其中第九卷的命题14与命题20给出了两个重要的数论定理。对于简单的自然数，可以提出极难证明的问题，这些问题使得数学青春常在。

2.量

自然数用于实际生活是不够的，分数进而诞生，这些数与测量相关，所以是量。从有理数到无理数的跨越是数的概念扩张中非常困难的一件事，需要引进无穷、极限、连续等概念，到19世纪末才形成了完备的实数理论。从实数到复数的过渡主要是来自于数学内部，实数还可以根据是否为整系数代数方程根的数划分为代数数与超越数。

3.图

图是数学中最简单也是最为直观的对象之一，由点和边组成，以图为对象的理论称为图论。对于哥尼斯堡七桥问题，欧拉将其抽象为一个图来解决。同理，19世纪中叶，格瑞斯发现给地图着色最少需要4种颜色，这个问题也可以转化为一个图论问题。虽然诞生较晚，但图论也是在实际问题的激发下，然后进行抽象与推广而获得发展的。

4.形

以形为对象的学问是几何学，相较于数，形更具有直观性。形的起源很早，古希腊的数学家们便开始考虑几何作图的问题，例如三等分角、倍立方体、化圆为方等。《几何原本》将之前的数学结果组织成为一个伟大的体系，把数学逐步变为脱离经验的纯粹科学。

5.形（2）

欧氏几何提供了人类第一种科学研究方法--理论推理。在欧氏几何中有一条公设（第五公设），这条公设看起来很奇怪，就在很多人对其进行证明的过程中，非欧几何被发现。非欧几何的发现表明数学不依赖于经验的选择，因而数学最终成为脱离经验的形式科学。

6.算（1）

理论与计算是数学的两个组成部分。从一开始，数便与计算联系在一起，早期是有限运算，后期推广到符号运算与无穷运算。从算术到代数，是以数为运算对象扩充到以符号为运算对象。从有穷到无穷则主要是无穷级数，它是17-18世纪数学家竞争的一个主要领域。在19世纪初，级数的收敛与发散问题引起了数学家的注意，代数分析进而形成并逐步通向分析学。

7.算（2）

函数的概念来源于外部的经验世界，其中性质最好、用到最多的是代数函数，其可以进行加减乘除运算、复合运算，和另外两个特别的运算：微分和积分。微积分可以看作是函数间的运算，它促进了函数概念的扩展——椭圆函数。集合论起源于函数表示为三角级数的问题，如今函数的概念建立在集合论的基础上。

8.群

早期代数学主要研究代数方程的求解问题。进入到19世纪后，在研究高次代数方程根式求解的过程中，首次出现了置换群的概念，同期数论、几何中也出现了大批具体群的例子。这些具体群随后引出了抽象群，标志着经典代数学逐步通向抽象代数学。这个例子再次说明，数学虽然有着具体的来源，但通过推广与抽象，数学的范围越来越广阔。